この記事では、2023年の国際物理オリンピック(International Physics Olympiad = IPhO)日本大会の理論問題1について概観します。計算などの詳細は公式の解答例に記載してあるので、それを繰り返すことはしません。解き方の流れや背景を中心に紹介していきます。
なお、こちらの記事は物理オリンピックの出題範囲程度(≒理系の大学1年生程度)の物理の知識があることを前提にしています。前提知識なく問題の概要を知りたい方は前回の記事をご覧ください。

IPhO2023 理論問題1 コロイド粒子
それでは、IPhO2023 日本大会の理論問題1について背景や解き方を見ていきます。
実際の問題を確認したい方は、IPhO2023のホームページ(英語原文)をご覧ください。以下の紹介では問題のネタバレを含みますので、自力で解きたい方はご注意ください。
全体について
理論問題1は(統計)力学の分野からコロイド粒子についての問題です。水中での微粒子の運動について調べます。
この問題は以下の5つのパートに分かれています。
Part A: コロイド粒子の運動(1.6点)
Part B: 運動の近似(1.8点)
Part C: 電気泳動(2.7点)
Part D: 平均二乗変位(2.4点)
Part E: 水の浄化(1.5点)
細かくパートに分かれていて、点数としても全体的に満遍なく配分されています。前のパートが解けない場合も後のパートが解けることが多いので、途中で詰まっても全体を見渡して取れる箇所を拾っていくことが、実際の試験では重要になるものと思います。
Part A: コロイド粒子の運動
このパートでは、水中での1次元のコロイド粒子の運動を考えています。
問題文中にも与えられていますが、速度
ここで、
小問A1, A2
通常は、
を解くことで求められます。この運動を特徴づける緩和時間は
Part B: 運動の近似
このパートでは、運動を近似することで平均変位と平均二乗変位の時間発展を求めます。
小問B1
Part A で求めた解から、緩和時間
と仮定します。シンプルな代数計算により、平均変位
小問B2
前問の結果から平均二乗変位は時間に比例します。これは、拡散での特徴的な挙動です。この時、平均二乗変位が非零の有限値をとるという条件から、同時刻の時間相関の大きさ
Part C: 電気泳動
このパートでは、電荷を持ったコロイド粒子に
小問C1, C2
電場をかけることでコロイド粒子の密度分布
小問C3
一方で、微小な領域にかかる力の釣り合いを考えます。微小な領域にかかる電場による静電気力は粒子密度
小問C4, C5
そして、電場による流れ
と求められます。
求められた式は(ブラウン運動についての)アインシュタインの関係式と呼ばれているものです。1905年のアインシュタインの高名なブラウン運動についての論文で導出されました。このパートの設定はその論文に倣ったものになっています。(導出に至るまでの道筋は多少異なります。)
Part D: 平均二乗変位
このパートでは、平均二乗変位の振る舞いについて調べます。
小問D1
ここでは、実験的に得られた変位のヒストグラムが与えられ、アボガドロ数を推定します。
ヒストグラムから、実験における
小問D2
ここでは、Part C のように電場がかかっている場合の平均二乗変位の振る舞いを調べます。
問題の誘導のように、終端速度
と計算できます。時間の小さい時は第2項が、時間の大きい時は第1項が支配的となります。すなわち、短い時間では水分子の衝突による撃力の影響が支配的となり、長い時間ではランダムな運動よりも一定速度の移動の影響が支配的となります。
小問D3
ここでは、能動的に移動する微生物の運動について調べます。
微生物は時間間隔
を満たします。また、微生物の速度と水分子による揺動に相関はないので、
泳動の持続時間
Part E: 水の浄化
このパートでは、土の微粒子の凝集して水を浄化することを考えます。
水中では粒子の表面は電離したり周囲の荷電粒子を吸着することで帯電しています。そのため、粒子同士は静電気力で反発しています。この静電気力は粒子同士に働くファンデルワールス力による引力より優勢です。
水に電解質を加えていくと、粒子の周囲に粒子の持つ電荷と反対符号のイオンが集まり、電気二重層を形成します。それにより、粒子の持つ電荷が遮蔽されて静電気的な斥力が弱まっていくこととなります。電解質の濃度が閾値を超えると、ファンデルワールス力の方が優勢となり粒子が凝集することとなります。
なお、このパートのは以前のパートまでとは独立して解けるようになっています。
小問E1
2粒子間のポテンシャルは、粒子間距離を
という形で与えられます。ここで、
十分大きな粒子を考えると、水中の粒子はすぐに終端速度に達することになります。従って、粒子は常にポテンシャルの傾きを降りるように移動することがわかります。通常の(散逸のない)力学のように慣性によってポテンシャルを登ることはありません。
濃度
を解くことで、閾値となる
まとめ
この記事では、 IPhO2023 理論問題1のコロイド粒子に関する問題について紹介しました。テクニカルな観点では、誘導が丁寧な点、パートが細かく分けてあり独立して解ける点を考慮すると、比較的点数のとりやすい問題だったのではないかと思います。