国際物理オリンピック2023 理論問題3 水の表面張力概要紹介編

2023/08/042023/08/20

この記事では、2023年の国際物理オリンピック（International Physics Olympiad = IPhO）日本大会の理論問題3の概要について見ていきたいと思います。

IPhO2023 理論問題3 水の表面張力

この記事では、IPhO2023 日本大会の理論問題3を紹介していきます。解法の詳細には踏み込まずに概要を説明します。

実際の問題を確認したい方は、IPhO2023のホームページ（英語原文）をご覧ください。以下の紹介では問題のネタバレを含みますので、自力で解きたい方はご注意ください。

問題の概要

理論問題3は水の表面張力についての出題です。力学考察から水の表面がとる形状について考え進めていきます。

問題は以下の3つのパートに分かれています。
Part A: 水滴の合体
Part B: 鉛直な板との相互作用
Part C: 2つの棒との相互作用

以下では、それぞれのパートについて紹介します。

Part A: 水滴の合体

このパートでは水滴の合体について考えます。

水をはじく疎水性の板の上に2つの水滴がある状況を考えます。水は表面張力を持っているため、表面積が大きくなるほどエネルギーが高くなります。そのため、疎水性の板の上では水滴は球形となります。これら2つの球形の水滴が合体して1つの球となる状況を考えると、合計の体積の変化はありませんが、表面積は減少することになります。この表面積の減少に対応する分だけエネルギーが低くなります。その時に、余ったエネルギーの一部が水滴の運動エネルギーに変換されて、水滴が飛び上がります。運動エネルギーへの変換率を仮定することでどの程度の速さで飛び上がるのか計算することができます。

Part B: 鉛直な板との相互作用

このパートでは、水の中に鉛直に大きな板を挿入する状況を考えます。

板の材質が親水性か疎水性かによって、板と水がくっつき合うか弾き合うかが決まります。板と水面の交わる方向から見たときに、親水性の場合は板を中心に山なりに水の表面が持ち上げられ、疎水性の場合は板を中心に谷状に水の表面が凹みます。山や谷の傾斜は、水の圧力と表面張力とのバランスによって決まります。これらの力のバランスを考えると、水面での保存量を導出できます。そして、その保存量を変形することで、斜面の形状についての方程式を導出することができます。その結果、水の表面は指数関数の和として表されることがわかります。ここで、指数関数を特徴づける長さ（特徴長さ）も計算でき、3mm 程度だということもわかります。日常で観察できる、コップの縁の表面張力による盛り上がりも同程度の大きさを持っているわけです。

Part C: 2つの棒との相互作用

このパートでは、水の中に2つの長い棒を並行に浮かべる状況を考えます。

それぞれの棒は、その棒を挟んだ2つの水面から表面張力と圧力を受けるため、棒に働く力はそれらの力の合計として求められます。ここで求められた力の式は一見すると複雑な形をしているのですが、Part B で導出した保存量を利用することで簡単な形に書き直すことができます。その結果、2つの棒は互いに引き合う方向に力を受けるということがわかります。棒に働く力は棒同士の距離が離れるにつれて指数関数的に小さくなり、特徴長さより離れた場所では非常に小さくなります。