この記事では、2023年の国際物理オリンピック（International Physics Olympiad = IPhO）日本大会の理論問題2の概要について見ていきたいと思います。
IPhO2023 理論問題2 中性子星
この記事では、IPhO2023 日本大会の理論問題2を紹介していきます。解法の詳細には踏み込まずに概要を説明します。
実際の問題を確認したい方は、IPhO2023のホームページ（英語原文）をご覧ください。以下の紹介では問題のネタバレを含みますので、自力で解きたい方はご注意ください。
問題の概要
理論問題2は中性子星の性質についての出題です。中性子というミクロな対象についての問題ですが、量子力学的な知識はほぼ必要なく、力学や相対性理論の問題になっています。
問題は以下の3つのパートに分かれています。
Part A: 原子核の安定性
Part B: 巨大な原子核としての中性子星
Part C: 連星系の中性子星
以下では、それぞれのパートについて紹介します。
Part A: 原子核の安定性
このパートでは手始めに通常の原子核の安定性について考えます。
原子核の中で核子（陽子と中性子）同士は核力で強く引き合いながらも自由に動き回れるため、一種の液体のようなものとみなすことができます（液滴モデル）。液滴モデルでの原子核の束縛エネルギーの公式が与えられるので、それをもとに原子核の安定性について考えていきます。このパートは3つの小問に分かれています。
一つ目の小問では、中性子と陽子が同じ数あるという条件の下に核子一つ辺りの束縛エネルギーが最大となる質量数を求めます。質量数が50近辺で束縛エネルギーが最大化することがわかります。これは、鉄（原子番号26、原子量55.8）が最も安定であるというよく知られた事実と整合します。
次の小問では、質量数を197に固定するという条件のもとに束縛エネルギーが最大となる質量数を求めます。結果、金（原子番号79、原子量197.0）が安定であることがわかります。
最後の小問では、原子核がエネルギー的に真っ二つに分裂できる条件を求めます。陽子数の大きなところで静電気的な反発により分裂が促されることがわかります。
Part B: 巨大な原子核としての中性子星
このパートでは巨大な原子核として中性子星を扱うことで、中性子星が安定となる条件を求めます。
中性子星を陽子数が0の原子核とみなし、Part A の束縛エネルギーの公式を外挿することで、中性子星の束縛エネルギーが求められます。束縛エネルギーは負で（ポテンシャルとしては正で）質量数に比例して増加することがわかります。このエネルギーは中性子星を分解する方向に働いています。一方で、重力による効果を考えると、束縛エネルギーは正で質量数の 5/3 乗に比例して増えることになります。従って、質量数を増やしていくと、重力による束縛エネルギーの大きさが、原子核としての束縛エネルギーの大きさを上回ることになります。2つの束縛エネルギーが釣り合う状況を考えることで、臨界質量がおよそ太陽質量になることが求められます。この臨界質量以上の質量を持つと、中性子星は重力による効果で安定して存在することができます。
Part C: 連星系の中性子星
このパートは連星系の中性子星が主題で、メインの部分（5.4点）とサブの部分（0.6点）に分かれています。メインの部分では中性子星と白色矮星の連星系を考え、中性子星が一定間隔でパルスを発生させていることを利用して、白色矮星の質量を求めます。サブの部分では、2つの中性子星の合体について考えます。
白色矮星の質量
まず、重力の強い場所では一般相対性理論的な効果のために時間の進みが遅くなります。それと同時に、遠方から観察した際の光の実効的な速度も遅くなってきます。どれほど実効的な光速が遅くなるかは重力ポテンシャルを使って記述できます。
中性子星と白色矮星の連星を考えます。中性子星と白色矮星はそれらの重心を中心に回転しています。中性子星は一定間隔でパルスを発生しています。中性子星から放出されたパルスが白色矮星の近くを通り地球に到着した場合、一般相対性理論的な効果の影響でパルスが通常より遅れて到着します。この遅れは光路上にある重力ポテンシャルを積分することで近似的に計算できます。その結果、観測された遅れ量を用いることで、白色矮星が生む重力ポテンシャルの強さが計算でき、白色矮星の質量を見積もることができるのです。
中性子星の合体
最後に2つの中性子星の合体を考えます。2つの中性子星が近距離で回転すると、重力波を発生してエネルギーを失いながら互いに接近して、最終的に合体することとなります。その衝突の直前にどのような波形の重力波を出すかを考えます。古典的な近似で考えると、回転周期は回転半径の3/2乗に比例します。一方で、重力波の振幅については、計算式が与えられていて、回転半径に反比例することがわかります。従って、時間が経過して半径が減少するに伴い、重力波の波形は周期が短くなり振幅が大きくなっていきます。
まとめ
この記事では、 IPhO2023 理論問題2の中性子星に関する問題について紹介しました。ミクロな原子核の束縛エネルギーの公式を利用することで巨大な中性子星という天体の物理を記述できるという面白さがありました。また、一般相対性理論的な効果を利用することで遠方の天体の質量を推定できるという点も意外性があり興味深い点だと思います。
